絡み目の定義

$R^{3}$内の多角形を 結び目 と呼び, 結び目の和集合を 絡み目 と呼ぶ.

$R^3$内の絡み目$K$を, $xy$--平面上に直交射影する写像を$P$とする. $K$の像$P(K)$の各点$v$に対して,

• $P^{-1}(v) \cap K$は1点または2点である.
• $P^{-1}(v) \cap K$が2点の時は, $v$は$P(K)$の2辺の交差点になっている.

$P^{-1}(v) \cap K$が2点の時, $z$座標の小さい点を通る$K$の辺(以下,下交差線と呼ぶ) の像の交差点の近傍の一部を削除して 得られる図形 [正則表示の交差点]
を 正則表示 と呼ぶ. また,$z$座標の大きい点を通る$K$の辺を上交差線と呼ぶ.

有向絡み目の各交差点に対して, 上交差線を下交差線と重なるまで 反時計回りにまわし,辺が重なった時向きが一致すれば その交差点の符号を 1とし , 一致しなかったら, -1とする .

2つの絡み目$T$と$T'$が,1方の紐を切ったり繋げたりしないで, もう1方に変形できる時, 同値 であると言い, $T\cong T'$と書く.

交差しない円周の和集合を正則表示にもつ絡み目に同値な絡み目を 平凡 であるという.